15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

18. Se p(x) for um polinômio tal que p' (x) tem uma raiz simples em x = 1 , então p terá um extremo relativo em x = 1 .

Passo 1

Então galera, vamos supor que p x seja um polinômio com uma raiz de multiplicidade m em x = r . De acordo com o Teorema 4.2.5 da seção 2 do Anton, temos que se m = 1 (raíz simples, como é o nosso caso) então o gráfico cruzará o eixo x nesse ponto e não será tangente ao eixo x , como de costume.

Como a nossa função é um polinômio, teríamos que realizar as análises do sinal da derivada antes de x = 1 e depois de x = 1 . De qualquer forma, sem dúvida p teria um extremo relativo nesse ponto. Dessa forma, podemos concluir que, de fato, a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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