71-72. Calcule cada limite interpretando-o como uma soma de Riemann em que os intervalos são divididos em n subintervalos de igual comprimento.

71. lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ π 4 n sec 2 ⁡ ( π x 4 n ) no intervalo 0 ,   π 4 .

Passo 1

Como o próprio enunciado nos diz, para resolver o exercicio de alguma forma precisamos exergar esse limite como se fosse uma integral, então vamos ver como fazer isso. Por definição, a integral é algo nessa forma

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) ∆ x

onde n é o numero de subintervalos, x i é um ponto arbitrário de um dos intervalos e ∆ x e o tamanho de cada subintervalo..

Então vamos começar pegando o intervalo [ 0 , π 4 ] e dividindo-o em n   subintervalos de comprimento igual, sendo assim, os intervalos serão da forma: [ π ( x - 1 ) 4 n , x k 4 n ] . Dito isso, o tamanho de cada subintervalo é de π x n - π x - 1 n = 1 n = ∆ x . Agora vamos escolher algum ponto de cada um desses intervalos, para isso vamos tomar x i = x n . Agora juntando todas as infomações temos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ π 4 n sec 2 ⁡ ( π x 4 n ) = lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ π 4 sec 2 ⁡ π 4 x i ∆ x = ∫ 0 π 4 π 4 sec 2 ⁡ π 4 x d x

Passo 2

Agora que fizemos a correspondência, basta apenas resolver a integral, que é uma das que a gente sabe fazer de cabeça. Relembrando:

∫ asec 2 ⁡ a x d x = tan ⁡ a x + C

Daí temos que:

∫ 0 π 4 π 4 sec 2 ⁡ π 4 x d x = tan ⁡ π 4 . π 4 - tan ⁡ π 4 . 0 = t a n ⁡ ( π 2 16 )

Resposta

t a n ⁡ ( π 2 16 )

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