Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 73
73- Prove o Teorema do Valor Médio para Integrais (Teorema 5.6.2) aplicando o Teorema do Valor Médio (4.8.2) a uma antiderivada de de .
Passo 1
Galera, o Teorema do valor Médio (4.8.2) nos diz o seguinte:
Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então existe pelo um ponto , tal que
Dito isto, nós temos a seguinte expressão:
Pelo TVM, sabemos que existe tal que:
Gente, só pra deixar claro que o nosso é a derivada da função para , só não tem o (‘) porque é a função que estava na nossa integral, ok ? Mas ela corresponde ao do nosso TVM.
Assim,
Que é o Teorema do Valor Médio para integrais, beleza ?!
Fim!
Até a próxima.
Resposta
Demonstração acima.
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13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.25. ∫ 0 1 2 d x 1 - x 2
13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.21. ∫ - π 4 π 4 cos x d x
31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.32. a) ∫ - 1 2 2 + x d x
Defina F( x ) por F x = ∫ 4 x 1 t d t (a) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F ' ( x ) .(b) Confira o resultado de (a) primeiro integrando e depois derivando.
57. Defina F(x) por F x = ∫ 1 x 3 t 2 - 3 d t (a) Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrarF x . (b) Verifique o resultado de (a) integrando e depois diferenciando.