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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 52

49-52. Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x .

52. y = x 2 - 1 x 2 ; 1 2 ,   2

Passo 1

Então pessoal, antes de escrevermos a integral que temos que calcular vamos esboçar a curva que nos foi dada, tudo bem? Vale lembrar que a curva tem um intervalo, então é limitada! A curva que nos foi dada é:

y = 1 - 1 x 2

E o intervalo é: 1 2 ,   2 . Esboçando a região:

Note que temos duas áreas: A 1 e A 2 . Sendo assim, teremos as seguintes integrais para resolver:

A 1 = - ∫ 1 2 1 1 - x - 2 d x

A 2 = ∫ 1 2 1 - x - 2 d x

Logo:

A = A 1 + A 2 = - ∫ 1 2 1 1 - x - 2 d x + ∫ 1 2 1 - x - 2 d x

Então vamo que vamo!

Passo 2

Vale ressaltar que as integrais que escrevemos possuem o mesmo integrando, então a regrinha para resolver essas integrais será a mesma, que é essa aqui ó:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Aplicando nas nossas integrais, teremos:

A 1 = - x + 1 x 1 1 2

A 2 = x + 1 x 2 1

Então nossa área total será:

A = - x + 1 x 1 1 2 + x + 1 x 2 1

Agora que resolvemos as integrais, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

A = 1 2 + 1 2

∴ A = 1   u . a

E esse é o nosso resultado, pessoal! 😉

Resposta

A = 1   u . a

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