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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 7

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

7. y = x 2 , y = x , x = 1 4 , x = 1

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

O esboço da região é assim:

A curva é limitada acima por f x = x abaixo é limitada por g x = x 2 , à esquerda é delimitada pela reta x = 1 4 , então a = 1 4 , e à direita é delimitada por x = 1 , então b = 1 !

Montando nossa integral da área, ela fica assim:

A = ∫ 1 / 4 1 ( x - x 2 ) d x

Vamos calcular a integral indefinida abaixo:

∫ x - x 2 d x = ∫ x d x - ∫ x 2 d x

Vamos calcular em separado cada uma:

∫ x d x = ∫ x 1 2 d x = 1 1 2 + 1 x 1 2 + 1 + C = 1 3 2 x 3 2 + C = 2 x 3 2 3 + C

∫ x 2 d x = 1 2 + 1 x 2 + 1 + C = 1 3 x 3 + C

Voltando para a integral, temos, lembrando que essa integral ∫ x 2 d x vai com o sinal negativo:

∫ x - x 2 d x = 2 x 3 2 3 - 1 3 x 3 + C

Passo 3

Vamos pegar a antiderivada abaixo

F x = 2 x 3 2 3 - 1 3 x 3

Então para calcularmos a integral definida:

A = ∫ 1 / 4 1 ( x - x 2 ) d x = F 1 - F ( 1 4 )

Calculando F 1 e F ( 1 4 ) :

F 1 = 2 1 3 2 3 + 1 3 1 3 = 2 3 - 1 3 = 1 3

F 1 4 = 2 1 4 3 2 3 + 1 3 1 4 3 = 2 1 8 3 + 1 3 1 64 = 1 12 - 1 192 = 16 - 1 192 = 15 192

Voltando para a expressão da área, temos:

A = ∫ 1 4 1 x - x 2 d x = 1 3 - 15 192 = 49 192

Então:

A = 49 192

Resposta

49 192

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