1. Comparando áreas, mostre que ln(2) < 1 < ln(3) .
  2. Deduza que 2 < e < 3 .

Passo 1

Pessoal, nessa questão devemos demostrar que

ln ⁡ 2 < 1 < ln ⁡ 3

E para isso vamos usar a comparação de áreas.

Como a área da função 1 / x é o logaritmo natural, vamos usar essa função para a comparação de áreas.

Por fim, vamos deduzir que

2 < e < 3

E isso é bem simples, basta aplicar e x em todos os termos da desigualdade.

Passo 2

Tomemos a curva y = 1 / x e vamos desenhar n retângulos de tal forma que todos esses retângulos estejam abaixo da nossa curva. Sendo assim, se pegarmos para avaliar nessa curva entre x = 1   e   x = 2 a área que vamos encontrar nos fornece uma aproximação para ln ⁡ ( 2 ) que vai ser menor que 1.

R = ∑ Δ x f x i ≈ ln ⁡ 2

Sendo assim, conseguimos concluir que

ln ⁡ ( 2 ) < 1

Repetindo esse mesmo processo, porém, com retângulos que estão acima da nossa curva em análise e com x variando de 1 a 3, obteremos uma aproximação para ln ⁡ ( 3 ) que é maior do que 1 e assim teremos

R = ∑ Δ x f x i ≈ ln ⁡ 3

ln ⁡ 3 > 1

Juntando ambos os resultados vamos ter que

ln ⁡ 2 < 1 < ln ⁡ ( 3 )

Passo 3

Da desigualdade anterior tiramos que

ln ⁡ 2 < 1 < ln ⁡ 3

Devemos lembrar que ln ⁡ ( e ) = 1 assim, poderemos reescrever nossa desigualdade como sendo

ln ⁡ 2 < ln ⁡ e < ln ⁡ 3

E então, elevando todos os termos da desigualdade por e x teremos:

2 < e < 3  

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demostração nos Passos

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