Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.6 - Ex. 4
- Comparando áreas, mostre que .
- Deduza que .
Passo 1
Pessoal, nessa questão devemos demostrar que
E para isso vamos usar a comparação de áreas.
Como a área da função é o logaritmo natural, vamos usar essa função para a comparação de áreas.
Por fim, vamos deduzir que
E isso é bem simples, basta aplicar em todos os termos da desigualdade.
Passo 2
Tomemos a curva e vamos desenhar retângulos de tal forma que todos esses retângulos estejam abaixo da nossa curva. Sendo assim, se pegarmos para avaliar nessa curva entre a área que vamos encontrar nos fornece uma aproximação para que vai ser menor que 1.
Sendo assim, conseguimos concluir que
Repetindo esse mesmo processo, porém, com retângulos que estão acima da nossa curva em análise e com variando de 1 a 3, obteremos uma aproximação para que é maior do que 1 e assim teremos
Juntando ambos os resultados vamos ter que
Passo 3
Da desigualdade anterior tiramos que
Devemos lembrar que assim, poderemos reescrever nossa desigualdade como sendo
E então, elevando todos os termos da desigualdade por teremos:
Como queríamos demonstrar.
Resposta
Demostração nos Passos