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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 81

81. Suponha que P e Q sejam polinômios e n seja um número inteiro positivo. Use o princípio de indução matemática para provar que a n-ésima derivada da função racional f x = P ( x ) / Q ( x ) pode ser escrita como uma função racional com denominador Q x n + 1 . Em outras palavras, existe um polinômio A n tal que f n x = A n x / Q x n + 1 .

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos, eu e você, resolvermos essa atividade.

Aqui a gente precisa provar que existe um polinômio A n tal que:

f n x = A n x / Q x n + 1

Para isso, iremos utilizar o princípio da indução matemática.

O princípio da indução tem dois passos:

  • primeiro a gente mostra certa expressão vale para n = 1
  • depois a gente supõe que vale para algum número k (esse k seria qualquer número natural) e prova que se vale para k então vai valer para k + 1 .
  • Então nós podemos falar que k = 1 , então vai valer para o próximo número, o dois, e para o próximo, o 3, e todos depois deles. Ou seja, vai valer para qualquer n .

Então é isso que iremos fazer, iremos derivar o quociente de funções 1 vez, depois iremos extender o seu comportamento para k derivadas, e isso significa que podemos estender para k + 1 . É importante observar que o que queremos realizar aqui é a visualização entre a relação da n - é s i m a derivada e a potência do quociente.

Lembre-se que a regra do quociente para derivadas é:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Então vamos tentar para n = 1 :

f ' x = d d x P x Q x

Vamos usar a regra da divisão:

f ' x = d d x P x ⋅ Q x - d d x Q x ⋅ P x Q x 2

Podemos reescrever a potência do quociente como:

f ' x = P ' x ⋅ Q x - Q ' x ⋅ P x Q x 1 + 1

A expressão de cima é um polinômio, podemos escrever ele como A 1 x :

f ' x = A 1 x Q x 1 + 1

Então temos nossa prova para n = 1 .

Passo 3

Vamos supor que o resultado da expressão e valido para n = k

Então, vamos tentar provar que se

f k x = A k x Q x k + 1

Então

f k + 1 x = A k + 1 x Q x k + 1 + 1

Podemos reescrever a expressão como:

d d x A k x Q x k + 1 = A k + 1 x Q x k + 1 + 1

Usando a regra da divisão

d d x A k x ⋅ Q x k + 1 - d d x Q x k + 1 ⋅ A k x Q x k + 1 2 = A k + 1 x Q x k + 2

Usando a regra da cadeia naquela segunda derivada do numerador:

A k ' x ⋅ Q x k + 1 - k + 1 Q x k ⋅ Q ' x ⋅ A k x Q x 2 k + 2 = A k + 1 x Q x k + 2

Podemos colocar Q x k em evidência:

Q x k A k ' x ⋅ Q x - k + 1 ⋅ Q ' x ⋅ A k x Q x k ⋅ Q x k + 2 = A k + 1 x Q x k + 2

Podemos cortar em cima e embaixo

A k ' x ⋅ Q x - k + 1 ⋅ Q ' x ⋅ A k x Q x k + 2 = A k + 1 x Q x k + 2

A parte de cima é um polinômio A n + 1 , então

A k + 1 x Q x k + 2 = A k + 1 x Q x k + 2

Portanto, podemos escrever que

f n x = A n x Q x n + 1

para todo n pertencente aos naturais.

Resposta

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