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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 81

78-81 Use o resultado do Exercício 75 para calcular a derivada da função f   ( x ) dada.

81- f x = 2 x 2 + 4 x + 3 x 2 + 2 x + 1

Passo 1

Galerisss, nós podemos escrever f ( x ) assim, né ?!

f x = ( 2 x 2 + 4 x + 3 )   x 2 + 2 x + 1 - 1

No exercício 75 nós resolvemos aquela derivada usando a regra da cadeia, lembram ?? Aqui, nós vamos usar essa mesma regra, pois temos uma composição de funções.

g x = u = ( x 2 + 2 x + 1 )

h x = u - 1

Pela regra da cadeia, nós temos que:

t ´ x = h ´ g x × g ´ ( x )

Masss pera aêaêaê.... A gente tem um ' x ' sobrando do lado de fora, o que quer dizer que vamos ter que usar a regra do produto. Que tal nos lembramos como essa regrinha funciona ???

d d x u x t x = u x d d x t x + t x d d x [ u x ]

Passo 2

O nosso u ( x ) = 2 x 2 + 4 x + 3 e t x = x 2 + 2 x + 1 - 1 , Ok ?

Derivando u x :

Lembrando que:

d d x c   f x = c d d x [ f x ]

d d x x = 1

d d x c = 0

d d x x r = r   x r - 1

Assim,

u ´ x = 2 d d x x 2 + 4 d d x x + d d x 3

u ´ x = 4 x + 4

Agora, vamos derivar t x = h g x :

Derivando g x :

g ´ x = d d x x 2 + 2 d d x x + d d x 1

g ´ x = 2 x + 2

Derivando h ( x ) :

h ´ ( x ) - u - 2

Substituindo u por x 2 + 2 x + 1 :

h ´ x = - ( x 2 + 2 x + 1 ) - 2

Usando a regra da cadeia, temos:

t ´ x = - ( x 2 + 2 x + 1 ) - 2 × ( 2 x + 2 )

Passo 3

Colocando tudo na regra do produto, temos:

d d x u x t x = u x d d x t x + t x d d x [ u x ]

f ´ x = ( 2 x 2 + 4 x + 3 ) - x 2 + 2 x + 1 - 2 × 2 x + 2 + ( 4 x + 4 ) x 2 + 2 x + 1 - 1

f ´ x = - ( 2 x 2 + 4 x + 3 ) 2 x + 2 + ( 4 x + 4 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) x 2 + 2 x + 1 2

f ´ x = 2 x + 1 ( - 2 x 2 + 4 x + 3 + 2 x 2 + 4 x + 2 ) x + 1 4

f ´ x = - 2 x + 1 3

Acho que a simplificação foi a parte mais chataaaa da questã, né ??? Ufaaa, acabou.

Até a próxima, galera!

Resposta

- 2 x + 1 3

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