Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 81
81.Use a Lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura de um corpo num ambiente onde a temperatura é , se 30min atrás a temperatura do corpo era e 10min atrás era de .
Passo 1
Neste exercício o enunciado nos pede para usarmos a Lei do resfriamento de Newton, assim para usarmos a mesma devemos atentar para as informações contidas no enunciado e escrever as condições de contorno corretas. Após um bom entendimento das condições de contorno e da aplicação da Lei chegamos ao resultado esperado.
Passo 2
Da lei do resfriamento de Newton temos:
Onde K é uma constante e para todo .
Escrevendo a equação na forma mais comum de uma equação diferencial:
Podemos observar que trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante. Assim, o fator integrante para a mesma é:
Passo 3
Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante teremos:
Integrando ambos os membros da equação obtemos:
Passo 4
Aplicando as condições de contorno fornecida no enunciado, vem:
Quando , ; assim, . Logo,
Quando , ; assim,
Assim, podemos escrever :
Decorrido 30min a partir do momento que o corpo começou a resfriar, teremos:
Logo, após 30 min a temperatura do corpo será .