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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 31

Esboce uma parte do campo de direções da equação. Em seguida, adicione ao seu desenho a curva integral que passa pelo ponto P = ( 1 , - 1 ) . Use o método de Euler com x 0 = 1 e d x = 0,2 para estimar y ( 2 ) . Arredonde suas respostas até a quarta casa decimal. Determine o valor exato de y ( 2 ) para comparação.

y ' = x y

Passo 1

Bom, primeiramente, se y ' = x y então a gente tem que resolver a equação diferencial para encontrar y .

Vamos lá...

y ' = x y → d y y = x d x

Integrando os dois lados, ficamos com:

ln ⁡ y = x 2 2 + C

y = e x 2 2 + C

y = e x 2 2 ∙ e C

y = C 1 e x 2 2

Passo 2

Para achar a curva integral que passa por P ( 1 , - 1 ) é só substituir e achar a constante...

- 1 = C 1 e 1 2

C 1 =   - 1 e 1 2

C 1 = - e - 1 2

Então, a curva integral que queremos é

y = - e - 1 2 e x 2 2 =   - e ( ( x 2 - 1 ) / 2 )    

Passo 3

Vamos aplicar o método de Euler agora para obter o valor aproximado de y ( 2 ) .

O valor exato de y 2 = - e ( ( 2 2 - 1 ) / 2 )   = - e 3 2 ≅ - 4,4817 .   .

Passo 4

O esboço do campo de direção e da curva integral pedida é:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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