Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 58
Explique como se pode calcular o volume de um sólido de revolução por meio da medição da sombra sobre uma mesa em paralelo ao seu eixo de revolução produzida por uma luz que brilha diretamente acima dele.
Passo 1
Então pessoal, suponhamos que a mesa seja uma mesa de vidro e sem bordas e possui uma lâmpada em cima do centro de massa da mesa. É claro, pensar em uma situação assim é ideal mas satisfaz as condições do problema. Se isso ocorre, então a sombra projetada está diretamente abaixo da superfície da mesa, não é mesmo? Agora que vem a parte mais interessante, que é a parte em que colocamos o objeto em cima da massa.
Depois que colocamos o objeto em cima da mesa, a luz da lâmpada projetará a sombra do objeto ao fundo. Por ser uma mesa se vidro, é claro que a sombra da mesa será quase imperceptível, mas a do objeto será bem evidente, mesmo que este também seja feito de vidro ou plástico, pois terá as bordas do objeto. A questão é que a sombra da mesa irá delimitar uma região no chão e a sombra do seu sólido estará sobre essa região. Aqui vale ressaltar que a tampa da mesa está paralelo ao exo de rotação, por isso que a situação é facilitada para nossa análise.
Passo 2
Uma vez delimitada a região do objeto por conta da sombra, nosso problema está quase respondido! Com base no formato da sombra, que não é divulgado, e com base na relação comprimento-altura da mesa (que será nossa referência), procura-se uma ou mais de uma função que se aproxime daquela projetada pelo objeto. Aqui vale enfatizar que dizemos “aproximada” porque dependendo do sólido, este pode ser expresso por uma função muito longe das convencionais, nesse caso usaríamos métodos numéricos para termos uma estimativa de uma função que passe pelos pontos em questão e que, portanto, se aproxime da sombra do objeto.
Depois de todos esses processos, basta aplicarmos o cálculo de sólidos de revolução que conseguiremos determinar o volume do sólido em questão! Pensando em, por exemplo, um ciindro ou esfera, poderíamos utilizar a integral:
No qual essa função raio seria determinada pela função representada pela sombra. Lembrando que estamos colocando a lâmpada em um local “perfeito”, isto é, utilizando tanto o centro de massa da mesa quanto da própria lâmpada, para que tenhamos um sistema ideal. Na prática não funcionaria muuuito bem, mas ficaria bem próximo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)