85. A concentração média de alcol no sangue (BCA) de oito sujeitos masculinos foi medida após o consumo de de etanol (correspondente a um drink alcolico). Os resultados foram modelados pela função da concentração:

onde é medido em minutos depois do consumo e é medido em .

(a) Quão rápido estava o aumento do BCA depois de 10 minutos?

(b) Quão rápido ele estava diminuindo meia hora depois?

(a)

A rapidez no aumento do BCA nada mais é do que a taxa de variação do aumento do BCA, que é a derivada da função em cada ponto. Então só precisamos da derivada da concentração de BCA no instante .

Primeiro vamos encontrar a derivada da função:

Vamos primeiro usar a regra do produto.

A derivada do primeiro termo é a derivada de que é um.

Já para resolvermos a derivada do segundo termo devemos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a exponencial:

E sua derivada é:

Já a função interna é

E sua derivada fica:

Então a derivada de fica:

Substituindo por , temos que

Colocando em evidência:

Maravilha!

Aplicando essa derivada em :

(b)

Na letra (a) nós encontramos a função , então é só aplicar a derivada nesse instante.

Meia hora é igual a e o tempo que já se passou é , logo o tempo

Então, após 40 minutos a taxa fica: