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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4l

Derive.

y = (sen 3 x + cos 2 x)^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = sen 3 x + cos 2 x

f (g (x)) = f (u) = u^3

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^3)^' * (sen 3 x + cos 2 x)^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^3)^' = 3 u^(3 - 1) = 3 u^2

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (sen 3 x + cos 2 x)^' = (sen 3 x)^' + (cos 2 x) = cos 3 x * (3 x)^' + (- sen 2 x) * (2 x)^' = cos 3 x * 3 x^(1 - 1) + (- sen 2 x) * 2 x^(1 - 1) = cos 3 x * 3 x^0 + (- sen 2 x) * 2 x^0 = cos 3 x * 3 * 1 + (- sen 2 x) * 2 * 1 = 3 cos 3 x - 2 sen 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (u^3)^' * (sen 3 x + cos 2 x)^' = 3 u^2 * (3 cos 3 x - 2 sen 2 x)

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = 3 u^2 * (3 cos 3 x - 2 sen 2 x) = 3 (sen 3 x + cos 2 x)^2 * (3 cos 3 x - 2 sen 2 x)

Resposta

y^' = 3 (sen 3 x + cos 2 x)^2 * (3 cos 3 x - 2 sen 2 x)

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