Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 60
Em que ponto da curva a tangente é perpendicular a reta ?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nessa questão foi dada a função
E nosso objetivo é determinar o ponto que a derivada de é perpendicular à equação da reta .
Tem ideia de como fazemos isso?
Para uma reta ser perpendicular a outra seus coeficientes angulares, multiplicados, devem dar . Vamos descobrir qual é o coeficiente angular da reta dada para então procurar o da linha tangente.
Precisamos isolar :
O coeficiente angular dessa reta é , então, o coeficiente da reta tangente deve ser igual a:
Como a derivada de uma função em um ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente, basicamente o que estamos dizendo é que a derivada da função tem que ser igual a .
Sacou? Bora lá!
Passo 2
Nós sabemos que a tengente em certo ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente àquele ponto, então:
Para derivarmos essa função vamos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a raiz de dois:
Sua derivada fica:
Já a função interna é igual a
e sua derivada
Então a derivada fica:
Substituindo por :
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora é só isolar o e vamos descobrir qual é o ponto em que as linhas são perpendiculares:
Para descobrirmos qual é o ponto só precisamos substituir o na função dada no enunciado:
Então o ponto que estávamos procurando é
E fim! O que achou? Responde Aí!