y = raiz(x, 3); x = 8 e Δx = 2

  1. Encontre dy e Δy para os valores indicados de x e Delta x .
  2. Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são dy e Δy .

Passo 1

a) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = x 3 = x 1 3           →               f ' x = x 1 3 ' = 1 3 x 1 3 - 1 = x - 2 3 3 = 1 3 x 2 3 = 1 3 x 2 3

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = 1 3 x 2 3 Δ x

Se x = 8       e       Δ x = 2 , então:

d y = 1 3 ( 8 ) 2 3 2 = 2 3 64 3 = 2 3 ⋅ 4 = 1 6 ≈ 0,167

Passo 2

Para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar que Δ y = f x + Δ x - f ( x ) .

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = x + Δ x 3 - x 3

Se x = 8       e       Δ x = 2 , então:

Δ y = 8 + 2 3 - 8 3 = 10 3 - 2

Δ y = 10 3 - 2 ≈ 0,154

Passo 3

Segue o esboço do gráfico com todos dados indicados.

Olhando mais de perto:

Para representar o Δ y , nós precisamos esboçar os pontos:

P = 8 , f 8 ⏟ x , f x       com       x = 8   e Q = 8 + 2 , f 8 + 2 ⏟ x + Δ x , f x + Δ x       com         x = 8     e   Δ x = 2 .

Δ y é a diferença dos y de cada ponto, ou seja, Δ y = f 8 + 2 - f 8 = f 10 - f ( 8 ) .

Para representar o d y podemos marcar um segmento de d y ≈ 0,167 unidades acima do ponto P igual acontece na imagem. Ou traçar a tangente no x = 8 e achar o ponto de interseção R da reta tangente com o prolongamento de M Q - , o segmento M R - = d y = 1 6 .

Resposta

  1. d y = 1 6 ≈ 0,167 e Δ y = 10 3 - 2 ≈ 0,154 .
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Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule dy / dx , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3).sen(x) * cos(y) - cos(x) * sen(y) = 1 / 2
Nos exercícios de 17 a 24, ache dy .y = x^2 * sen(1/x) - x * cos(1/x)
y = raiz(x); x = 4 e Δx = 3 Encontre dy e Delta y para os valores indicados de x e Δx .Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são dy e Delta y .
y = x^3; x = 2 e Δx = 1 Encontre dy e Delta y para os valores indicados de x e Delta x .Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são dy e Δy .