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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 3

y = x 3 ;       x = 8       e       Δ x = 2

  1. Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .
  2. Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são d y e Δ y .

Passo 1

a) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' x Δ x onde x está no domínio de f ' e Δ x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f x = x 3 = x 1 3           →               f ' x = x 1 3 ' = 1 3 x 1 3 - 1 = x - 2 3 3 = 1 3 x 2 3 = 1 3 x 2 3

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = 1 3 x 2 3 Δ x

Se x = 8       e       Δ x = 2 , então:

d y = 1 3 ( 8 ) 2 3 2 = 2 3 64 3 = 2 3 ⋅ 4 = 1 6 ≈ 0,167

Passo 2

Para achar Δ y (variação do y ) , vamos utilizar que Δ y = f x + Δ x - f ( x ) .

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = x + Δ x 3 - x 3

Se x = 8       e       Δ x = 2 , então:

Δ y = 8 + 2 3 - 8 3 = 10 3 - 2

Δ y = 10 3 - 2 ≈ 0,154

Passo 3

Segue o esboço do gráfico com todos dados indicados.

Olhando mais de perto:

Para representar o Δ y , nós precisamos esboçar os pontos:

P = 8 , f 8 ⏟ x , f x       com       x = 8   e Q = 8 + 2 , f 8 + 2 ⏟ x + Δ x , f x + Δ x       com         x = 8     e   Δ x = 2 .

Δ y é a diferença dos y de cada ponto, ou seja, Δ y = f 8 + 2 - f 8 = f 10 - f ( 8 ) .

Para representar o d y podemos marcar um segmento de d y ≈ 0,167 unidades acima do ponto P igual acontece na imagem. Ou traçar a tangente no x = 8 e achar o ponto de interseção R da reta tangente com o prolongamento de M Q - , o segmento M R - = d y = 1 6 .

Resposta

  1. d y = 1 6 ≈ 0,167 e Δ y = 10 3 - 2 ≈ 0,154 .
Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos exercícios de 25 a 30, x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d y d x , encontrando o diferencial termo a termo (veja o Exemplo 3). s e n x c o s y - c o s x s e n y = 1 2
Nos exercícios de 17 a 24, ache d y . y = x 2 s e n 1 x - x c o s 1 x
y = x ;x = 4eΔ x = 3 Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são d y e Δ y .
y = x 3 ;x = 2eΔ x = 1 Encontre d y e Δ y para os valores indicados de x e Δ x .Faça um esboço do gráfico e indique os segmentos de reta cujos comprimentos são d y e Δ y .