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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 24

Nos exercícios de 17 a 24, ache d y .

y = x^2 s e n ((1)/(x)) - x c o s ((1)/(x))

Passo 1

Como em todas as questões dessa seção, devemos derivar a função para que possamos usar o teorema 4.9 . 3 e, por fim, calcular d y . Essa questão não é diferente. Vamos derivar y = f ( x ) .

Passo 2

Primeiramente, veja que ela é a soma de duas funções, digamos g (x) = x^2 s e n ((1)/(x)) e h (x) = - x c o s ((1)/(x)) .

Disso, temos que:

f^' (x) = g^' (x) + h^' (x)

Ou seja, precisamos calcular as derivadas de g ( x ) e h ( x ) .

Passo 3

Vamos calcular g ' ( x ) .

Antes de tudo, perceba que g ( x ) é composta pelo produto de duas outras funções:

x^2 e s e n ((1)/(x))

Usando a regra do produto:

g^(' ) ( x ) = (d (x^2))/(d x) s e n ((1)/(x)) + x^2 (d (s e n ((1)/(x))))/(d x)

A derivada (d (x^2))/(d x) é fácil, pois é polinomial:

(d (x^2))/(d x) = 2 x

Veja que s e n ((1)/(x)) é uma função composta. Logo, para derivá-la, devemos usar a regra da cadeia. Veja:

(d (s e n ((1)/(x))))/(d x) = (d (s e n ((1)/(x))))/(d ((1)/(x))) (d (x^(- 1)))/(d x) = cos ((1)/(x)) (- 1) x^(- 2) = - (1)/(x^2) cos ((1)/(x))

Por fim:

g^' (x) = 2 x s e n ((1)/(x)) + x^2 [- (1)/(x^2) cos ((1)/(x))] = 2 x s e n ((1)/(x)) - cos ((1)/(x))

Passo 4

Vamos calcular h ' ( x ) .

Veja que h ( x ) também é o produto de duas funções:

- x e cos ((1)/(x))

Logo, vamos usar a regra do produto:

h^' (x) = (d (- x))/(d x) cos ((1)/(x)) - x (d (cos ((1)/(x))))/(d (x)) = - cos ((1)/(x)) - x (d (cos ((1)/(x))))/(d (x))

Para derivar cos ((1)/(x)) , devemos usar a regra da cadeia, veja:

(d (cos ((1)/(x))))/(d (x)) = (d (cos ((1)/(x))))/(d ((1)/(x))) (d (x^(- 1)))/(d x) = - s e n ((1)/(x)) (- 1) x^(- 2) = x^(- 2) s e n ((1)/(x))

Logo:

h^' (x) = - cos ((1)/(x)) - x^(- 1 ) s e n ((1)/(x))

Passo 5

Por fim, temos que:

f^' (x) = g^' (x) + h^' (x) = 2 x s e n ((1)/(x)) - cos ((1)/(x)) - cos ((1)/(x)) - x^(- 1) s e n ((1)/(x))

Ou seja:

f^' (x) = s e n ((1)/(x)) (2 x - x^(- 1)) - 2 cos ((1)/(x))

Usando o teorema:

d y = [s e n ((1)/(x)) (2 x - x^(- 1)) - 2 cos ((1)/(x))] d x

Resposta

d y = [s e n ((1)/(x)) (2 x - x^(- 1)) - 2 cos ((1)/(x))] d x

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