Enunciado

11. Suponha que f e g sejam funções continuas tal que g 2 = 6 e lim x → 2 ⁡ 3 f x + f x g x = 36 . Encontre f 2 .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente calcular f ( 2 ) considerando que f   e g são funções contínuas. Além disso nos dá as seguintes informações:

g 2 = 6

lim x → 2 ⁡ 3 f x + f x g x = 36

Aqui a gente vai usar algumas propriedades de limites pra chegar no resultado! Bora lá?!

Passo 2

A primeira propriedade que podemos usar é a da soma! Como f e g são contínuas, então o limite da soma é a soma dos limites.

lim x → 2 ⁡ 3 f x + f x g x = 36

lim x → 2 ⁡ 3 f x + l i m x → 2 f x g x = 36

Como o 3 é uma constante, podemos tira-lo do limite:

3 ⋅ lim x → 2 ⁡ f x + l i m x → 2   f x   l i m x → 2   g x = 36

Como a função é continua lim x → a ⁡ f x = f ( a ) . Então:

l i m x → 2   f x = f 2

l i m x → 2   g x = g ( 2 )

Portanto,:

3 ⋅ f ( 2 ) + f ( 2 ) ⋅ g ( 2 ) ⁡ = 36

Do enunciado, g 2 = 6 . Logo:

3 ⋅ f ( 2 ) + f ( 2 ) ⋅ 6 ⁡ = 36

Agora é só isolar o f ( 2 ) :

f 2 = 36 9 = 4

Resposta

f 2 = 4

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