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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 36

9-40. Encontre os limites.

36. underset(x -> - oo)(lim) ((e^x + e^(- x)))/(e^x - e^(- x))

Passo 1

Então pessoal, aqui o que devemos fazer é simplificar o máximo possível a expressão que nos foi dada para que, assim, possamos aplicar o nosso limite, ok? Uma estratégia interessante para a função que nos foi dada é dividir todos os membros da função por e^(- x) , saca só:

underset(x -> - oo)(lim) (((e^x)/(e^(- x)) + (e^(- x))/(e^(- x))))/((e^x)/(e^(- x)) - (e^(- x))/(e^(- x)))

Simplificando o que pode ser simplificado, teremos:

underset(x -> - oo)(lim) ((e^(2 x) + 1))/(e^(2 x) - 1)

Ok, primeira parte concluída!

Passo 2

Agora que simplificamos nossa expressão, vamos aplicar o limite para ver se agora conseguimos chegar em um resultado, beleza? Fazendo isso, teremos:

underset(x -> - oo)(lim) ((e^(2 x) + 1))/(e^(2 x) - 1) = ((e^(- oo) + 1))/(e^(- oo) - 1)

((e^(- oo) + 1))/(e^(- oo) - 1) = ((1)/(e^(oo)) + 1)/((1)/(e^(oo)) - 1)

O que é um número dividido por algo muito grande? Isso é aproximadamente zero, certo? Dessa forma:

underset(x -> - oo)(lim) ((e^x + e^(- x)))/(e^x - e^(- x)) = (0 + 1)/(0 - 1) = - 1

E esse é o resultado do nosso limite!

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) ((e^x + e^(- x)))/(e^x - e^(- x)) = - 1

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9-40. Encontre os limites.37. underset(x - + oo)(lim) ln ((2)/(x^2))