Enunciado

9-40. Encontre os limites.

37. underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2))

Passo 1

Então pessoal, antes de aplicarmos o limite, vamos fazer o possível para simplificar o nosso argumento, tudo bem? O limite que nos foi dado é o seguinte:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2))

Conhecendo essa propriedade de logaritmos:

ln ((a)/(b)) = ln a - ln b

Podemos fazer:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2)) = underset(x -> + oo)(lim) (ln 2 - ln x^2)

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2)) = underset(x -> + oo)(lim) (ln 2 - 2 ln x)

Tudo bem, agora sim simplificamos nosso logaritmo!

Passo 2

Uma vez simplificado, acredito que agora podemos aplicar nosso limite. Vamos ver? Se liga:

underset(x -> + oo)(lim) (ln 2 - 2 ln x) = ln 2 - 2 ln + oo

Mas o que seria esse ln + oo ? Pela definição de logaritmo natural, temos o seguinte:

ln + oo = e^(+ oo) = + oo

Sendo assim, o resultado do nosso limite será:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2)) = ln 2 - oo

:. underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2)) = - oo

E esse é o nosso limite, galera! 😉

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2)/(x^2)) = - oo

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