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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 36a

Prove:

underset(x -> + oo)(lim) cotgh x = 1

Passo 1

Para resolver esse limite vamos primeiro lembrar a definição de coth x .

cotgh x = (e^(- x) + e^x)/(e^x - e^(- x))

Passo 2

Agora vamos substituir essa expressão no limite e calculá-lo.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))

Vou dividir no numerador e no denonimador por e^x .

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)) = underset(x -> + oo)(l i m) ((e^x)/(e^x) + (e^(- x))/(e^x))/((e^x)/(e^x) - (e^(- x))/(e^x)) = underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^x e^x))/(1 - (1)/(e^x e^x)) = underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^(2 x)))/(1 - (1)/(e^(2 x)))

= underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^(2 x)))/(1 - (1)/(e^(2 x))) = (1 + underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x)))/(1 - underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x))) = (1 + 0)/(1 - 0) = 1

underset(x -> + oo)(lim) cotgh x = underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)) = 1

Usamos acima o underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x)) = 0 , lembrando que, neste caso, ficamos com um número dividido por algo infinitamente grande e isso tende a 0 .

Fechamos então.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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54. a) Explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 fazendo a substituição t = - x 2 e escrevendo: lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ e t = 0 b) Suponha que g x → - ∞ com x → + ∞ . Dada
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.59. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x ln ⁡ 3 x [Sugestão: t = ln ⁡ x ].
53. a) Explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ e x ² ² fazendo a substituição t = x ² ² e escrevendo: lim x → + ∞ ⁡ e x ² = lim x → + ∞ ⁡ e t = + ∞ ² b) Suponha que g x → + ∞ com x → + ∞ . Dad
64. Prove que lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e completando as partes a) e b).b) Use a equação 8 e a substituição t = 1 x para provar que lim x → 0 - ⁡ 1 + x 1 x = e
64. Prove que lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e completando as partes a) e b).a) Use a equação 7 e a substituição t = 1 x para provar que lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 x = e .