Prove:

underset(x -> + oo)(lim) cotgh x = 1

Passo 1

Para resolver esse limite vamos primeiro lembrar a definição de coth x .

cotgh x = (e^(- x) + e^x)/(e^x - e^(- x))

Passo 2

Agora vamos substituir essa expressão no limite e calculá-lo.

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))

Vou dividir no numerador e no denonimador por e^x .

underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)) = underset(x -> + oo)(l i m) ((e^x)/(e^x) + (e^(- x))/(e^x))/((e^x)/(e^x) - (e^(- x))/(e^x)) = underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^x e^x))/(1 - (1)/(e^x e^x)) = underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^(2 x)))/(1 - (1)/(e^(2 x)))

= underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(e^(2 x)))/(1 - (1)/(e^(2 x))) = (1 + underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x)))/(1 - underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x))) = (1 + 0)/(1 - 0) = 1

underset(x -> + oo)(lim) cotgh x = underset(x -> + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)) = 1

Usamos acima o underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(e^(2 x)) = 0 , lembrando que, neste caso, ficamos com um número dividido por algo infinitamente grande e isso tende a 0 .

Fechamos então.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados