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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 38

9-40. Encontre os limites.

38. underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2))

Passo 1

Então pessoal, antes de aplicarmos o limite, vamos fazer o possível para simplificar o nosso argumento, tudo bem? O limite que nos foi dado é o seguinte:

underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2))

Conhecendo essa propriedade de logaritmos:

ln ((a)/(b)) = ln a - ln b

Podemos fazer:

underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln 2 - ln x^2)

underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln 2 - 2 ln x)

Tudo bem, agora sim simplificamos nosso logaritmo!

Passo 2

Uma vez simplificado, acredito que agora podemos aplicar nosso limite. Vamos ver? Se liga:

underset(x -> 0^+)(lim) (ln 2 - 2 ln x) = ln 2 - 2 ln 0

Mas galera, o que seria ln 0 ? Vale ressaltar que estamos falando de um valor tendendo a zero pela direita, ou seja, um número infinitamente pequeno e positivo. Qualquer logaritmo que possui o logaritmando entre 0 e 1 resulta em um valor negativo, galera! Sendo assim, podemos dizer que:

ln 0^+ = - oo

Logo:

ln 2 - 2 ln 0 = ln 2 + oo = + oo

Dessa forma, nosso limite será:

underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2)) = + oo

E está aí nosso resultado!

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) ln ((2)/(x^2)) = + oo

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