55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.

60. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 - ln ⁡ x + 1 (Sugestão: t = x - 1 ).

Passo 1

Para resolvermos esse limite vamos utilizar a sugestão que o enunciado nos dá, tudo bem? Antes disso, vamos reescrever nosso limite de outra forma. Vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Para o nosso limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 - ln ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 x + 1

Utilizando a diferença de dois quadrados, temos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 . ( x - 1 ) x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1

Tudo bem, a primeira parte foi feita.

Passo 2

Agora que reescrevemos nosso limite, vamos utilizar a substituição sugerida pelo enunciado, que é:

t = x - 1

Para x → + ∞ , temos que t será:

t = + ∞ - 1 = + ∞

Substituindo no nosso limite, teremos:

lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ t

Aplicando o limite, teremos:

lim t → + ∞ ⁡ ln ⁡ t = ln ⁡ + ∞ = + ∞

∴ lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 - ln ⁡ x + 1 = + ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 - ln ⁡ x + 1 = + ∞

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