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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 24

24. Ache (d^3 u)/(d v^3) se u = v sqrt(v - 2) .

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 3 precisamos ter em mente três coisas:

1 - Teremos que fazer 3 derivadas. Uma da função dada e duas das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Usaremos a regra da cadeia nesta derivação.

3 - v sqrt(v - 2) = v (v - 2)^((1)/(2))

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d u)/(d v) = (d v)/(d v) * (v - 2)^((1)/(2)) + v * (d)/(d v) [ (v - 2)^((1)/(2)) ]

= (v - 2)^((1)/(2)) + v * [(1)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2)) * 1]

= (v - 2)^((1)/(2)) + (v)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2))

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

(d)/(d v) [(v - 2)^((1)/(2)) + (v)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2))] = (d)/(d v) [(v - 2)^((1)/(2))] + (d)/(d v) [(v)/(2) ((v - 2)^((- 1)/(2)))]

= (1)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2)) * 1 + (1)/(2) [(v - 2)^((- 1)/(2))] + (v)/(2) [- (1)/(2) (v - 2)^((- 3)/(2))]

= (1)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2)) + (1)/(2) (v - 2)^((- 1)/(2)) - (v)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2))

= (v - 2)^((- 1)/(2)) - (v)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2))

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso colchete.

(d)/(d v) [(v - 2)^((- 1)/(2)) - (v)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2))] = (d)/(d v) [(v - 2)^((- 1)/(2))] - (d)/(d v) [(v)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2))]

= - (1)/(2) (v - 2)^((- 3)/(2)) - [(1)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2)) + (v)/(4) (- (3)/(2) (v - 2)^((- 5)/(2)) * 1)]

= - (1)/(2) (v - 2)^((- 3)/(2)) - (1)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2)) + (3 v)/(8) (v - 2)^((- 5)/(2))

= - (3)/(4) (v - 2)^((- 3)/(2)) + (3 v)/(8) (v - 2)^((- 5)/(2))

Passo 5

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - (3)/(4 (v - 2)^((3)/(2))) + (3 v)/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por ( v - 2 ) :

= - (3 * (v - 2))/(4 (v - 2)^((3)/(2)) * (v - 2)) + (3 v)/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

= - (3 v - 6)/(4 (v - 2)^((5)/(2))) + (3 v)/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

= (- 2 (3 v - 6) + 3 v)/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

= (- 6 v + 12 + 3 v)/(8 (v - 2)^((5)/(2))) = (- 3 (v - 4))/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

Passo 6

Prontinho, fizemos as três derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 3 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

(d^3 u)/(d v^3) = (- 3 (v - 4))/(8 (v - 2)^((5)/(2)))

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