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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 17

Seja y = cos omega t , omega constante. Verifique que

(d^2 y)/(d t^2) + omega^2 y = 0

Passo 1

Derivamos y em relação a t , usando a regra da cadeia, lembrando que omega é constante:

(d y)/(d t) = [cos omega t]^'

(d y)/(d t) = (- sen omega t) (omega t)^'

(d y)/(d t) = (- sen omega t) (omega)

(d y)/(d t) = - omega sen omega t

Passo 2

Usando a regra da cadeia novamente, obtemos a derivada de 2 ª ordem:

(d^2 y)/(d t^2) = - omega [sen omega t]^'

(d^2 y)/(d t^2) = - omega (cos omega t) (omega t)^'

(d^2 y)/(d t^2) = - omega (cos omega t) (omega)

(d^2 y)/(d t^2) = - omega^2 cos omega t

Passo 3

Agora só resta substituir y e sua segunda derivada no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 0 , verificando que a equação é verdadeira:

(d^2 y)/(d t^2) + omega^2 y = - omega^2 cos omega t + omega^2 (cos omega t) = 0

(d^2 y)/(d t^2) + omega^2 y = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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