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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 60

Ache f ' ( - 3 ) se f (x) = ( |x| - x ) root(3)(9 x)

Passo 1

Como sabemos que o valor de x é negativo,

|x| = - x

podemos tirar o módulo da função dada, ficando com:

f ( x ) = ( - 2 x ) root(3)(9 x)

Reescrevendo:

f (x) = - 2 root(3)(9 x^4)

Fazendo a primeira derivada:

f ' (x) = (d)/(d x) (- 2 root(3)(9 x^4))

Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia, derivamos primeiro a função de fora:

(d)/(d t) (- 2 root(3)(t)) = (d)/(d t) (- 2 t^((1)/(3))) = - (2)/(3) t^(- (2)/(3))

E aí substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dela:

(d)/(d x) (- 2 root(3)(9 x^4)) = - (2)/(3) (9 x^4)^(- (2)/(3)) (d)/(d x) ( 9 x^4 )

Resolvendo a derivada que apareceu:

(d)/(d x) (- 2 root(3)(9 x^4)) = - (2)/(3) (9 x^4)^(- (2)/(3)) 9 . 4 x^3

Simplificando e reescrevendo:

(d)/(d x) (- 2 root(3)(9 x^4)) = - 24 (9 x^4)^(- (2)/(3)) x^3

f^' (x) = (d)/(d x) (- 2 root(3)(9 x^4)) = (- 8 root(3)(x))/(root(3)(3))

Passo 2

Agora basta substituirmos x = - 3 na derivada que encontramos:

f^' (- 3) = (- 8 root(3)(- 3))/(root(3)(3)) = (- 8 root(3)(3) root(3)(- 1))/(root(3)(3)) = - 8 root(3)(- 1)

f^' (- 3) = - 8 root(3)(- 1)

Resposta

f^' (- 3) = - 8 root(3)(- 1)

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