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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 59

(a) Use um recurso computacional para obter o gráfico da função f x = x 4 - x 2 .

(b) Use o gráfico de (a) para fazer um esboço do gráfico de f ' .

(c) Encontre f ' ( x ) e verifique seu trabalho em (b) usando o recurso computacional para obter o gráfico de f ' .

(d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1 e faça o gráfico de f junto com o da reta tangente

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joia?

Vamos usar nosso amiguinho Geogebra aqui pra fazer os gráficos, beleza?

Pra começar, o gráfico de f x = x 4 - x 2 :

  1. Passo 2

  2. Agora a gente vai fazer f ' ( x ) . O próprio Geogebra faz, quer ver?

    3. Passo 3

  3. Agora vamos calcular a derivada de f ( x ) direitinho...

    4. Usando regra do Produto e Regra da Cadeia, hein, não esquece!

    f ' x = x ' 4 - x 2 + x 4 - x 2 '

    f ' x = 1 4 - x 2 + x 1 2 4 - x 2 4 - x 2 '

    f ' x = 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 - 2 x

    f ' x = 4 - x 2 - x 2 4 - x 2  

    Show! Essa é a derivada! Vamos plotar o gráfico dela junto com o nosso gráfico agora:

    Deu igualzinha a de cima, viu? Nossa derivada tá certinha então! 😉

    Passo 4

  4. Agora vamos usar a derivada que a gente calculou pra encontrar a equação da reta tangente. Lembrando que ela tem essa forma aqui:

y - f a = f ' a ( x - a )

No nosso caso, a = 1 , então a gente tem:

f 1 = 1 4 - 1 2 = 3

f ' 1 = 4 - 1 2 - 1 2 4 - 1 2 = 3 - 1 3 = 2 3 3

Nossa reta tangente então é:

y - 3 = 2 3 3 ( x - 1 )

y = 2 3 3 x - 2 3 3 + 3

y = 2 3 3 x + 3 3

Essa é a reta tangente! Vamos plotar ela lá no gráfico agora:

E finalizamos por aqui! 😊

Resposta

  1. Gráfico.
  2. Gráfico.
  3. f ' x = 4 - x 2 - x 2 4 - x 2  
  4. y = 2 3 3 x + 3 3
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