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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 16

Encontre f ' ( x )

f (x) = t g sqrt(x)

Passo 1

Essa função que temos é uma função composta, ou seja, tem uma função dentro da outra, e quando isso acontece resolvemos a derivada utilizando a regra da cadeia! Vou te lembrar como é a regra da cadeia, se liga aqui:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Beleza, agora vamos esclarecer quem é f ( x ) e g ( x )

f ( x ) é a nossa função de fora, então

f (x) = t g ( x )

Enquanto g ( x ) é a nossa função de dentro

g (x) = sqrt(x)

Passo 2

Agora que a gente separou nossas funções vamos partir pra cima delas e derivá-las

Para f ( x )

f (x) = t g (x)

f^' (x) = s e c^2 (x)

f^' (g (x)) = sec^2 (g (x))

Como g (x) = sqrt(x) , ficamos com

f^' (g (x)) = sec^2 ( sqrt(x) )

Agora para g ( x )

g (x) = sqrt(x)

E sqrt(x) = x^((1)/(2))

g^' (x) = (1)/(2) * x^(- (1)/(2))

g^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

Passo 3

Vamos juntar tudo na nossa regra da cadeia agora, ficamos com isso aqui:

(f (g (x)))^' = sec^2 (x) * (1)/(2 sqrt(x))

(f (g (x)))^' = sec^2 (x)/(2 sqrt(x))

Resposta

(f (g (x)))^' = sec^2 (x)/(2 sqrt(x))

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