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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 60

(a) Use um recurso computacional para obter o gráfico da função f x = s e n   x 2 cos ⁡ x no intervalo - π 2 , π 2 .

(b) Use o gráfico de (a) para fazer um esboço do gráfico de f ' .

(c) Encontre f ' ( x ) e verifique seu trabalho em (b) usando o recurso computacional para obter o gráfico de f ' .

(d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1 e faça o gráfico de f junto com o da reta tangente no intervalo dado.

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joia?

Vamos usar nosso amiguinho Geogebra aqui pra fazer os gráficos, beleza?

Pra começar, o gráfico de f x = s e n   x 2 cos ⁡ x :

  1. Passo 2

  2. Agora a gente vai fazer f ' ( x ) . O próprio Geogebra faz, quer ver?

    3. Passo 3

  3. Agora vamos calcular a derivada de f ( x ) direitinho...

    4. Usando a Regra da Cadeia e a regra do Produto, hein, não esquece!

    f ' x = s e n   x 2 ' cos ⁡ x + s e n   x 2 ( cos ⁡ x ) '

    f ' x = cos ⁡ x 2 x 2 ' cos ⁡ x + s e n   x 2   ( - s e n   x )

    f ' x = 2 x cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - s e n   x 2 s e n   x

    Show! Essa é a derivada! Vamos plotar o gráfico dela junto com o nosso gráfico agora:

    Deu igualzinha a de cima, viu? Nossa derivada tá certinha então! 😉

    Passo 4

  4. Agora vamos usar a derivada que a gente calculou pra encontrar a equação da reta tangente. Lembrando que ela tem essa forma aqui:

y - f a = f ' a ( x - a )

No nosso caso, a = 1 , então a gente tem:

f 1 = s e n   1 2 cos ⁡ 1 = s e n   1 cos ⁡ 1

f ' 1 = 2 1 cos ⁡ 1 cos ⁡ 1 - s e n   1   s e n   1 = 2 cos 2 ⁡ 1 - s e n 2 1

Sendo que: s e n   1 ≈ 0,84 e cos ⁡ 1 ≈ 0,54 , temos:

y - 0,45 =   - 0,12   ( x - 1 )

y = - 0,12 x + 0,12 + 0,45

y = - 0,12 x + 0,57

Essa é a reta tangente! Vamos plotar ela lá no gráfico agora:

E finalizamos por aqui! 😊

Resposta

  1. Gráfico.
  2. Gráfico.
  3. f ' x = 2 x cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - s e n   x 2 s e n   x
  4. y = - 0,12 x + 0,57
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