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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 54

Encontre d^2 y // d x^2 :

y = x t g ((1)/(x))

Passo 1

E aí, tudo beleza?

A questão pede a segunda derivada, que é d^2 y // d x^2 , mas sem pânico, é só a gente derivar duas vezes essa funçãozinha aí!

A gente tem funções compostas, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

(f (g))^' = f^' (g) * g '

A gente tem um produto, então vamos aplicar a regrinha do produto, beleza?

Passo 2

Vamos montar a regra do produto:

(d y)/(d x) = (x)^' (t g ((1)/(x))) + x (t g ((1)/(x)))^'

Agora derivado com a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = 1 (t g ((1)/(x))) + x (sec^2 (1)/(x)) ((1)/(x))^'

(d y)/(d x) = t g ((1)/(x)) + x (sec^2 (1)/(x)) (- (1)/(x^2))

(d y)/(d x) = t g ((1)/(x)) - (1)/(x) sec^2 ((1)/(x))

Primeira derivada já foi!

Passo 3

Agora a gente vai derivar a expressão de d y // d x pra encontrar d^2 y // d x^2 ...

(d^2 y)/(d x^2) = sec^2 (1)/(x) ((1)/(x))^' + (- (1)/(x))^' sec^2 (1)/(x) + (- (1)/(x)) (sec^2 (1)/(x))^'

(d^2 y)/(d x^2) = - (1)/(x^2) sec^2 (1)/(x) + (1)/(x^2) sec^2 (1)/(x) - (1)/(x) (2 sec (1)/(x)) (sec (1)/(x))^'

(d^2 y)/(d x^2) = - (2)/(x) sec (1)/(x) (sec (1)/(x) t g (1)/(x)) ((1)/(x))^'

(d^2 y)/(d x^2) = - (2)/(x) sec^2 (1)/(x) t g (1)/(x) (- (1)/(x^2))

(d^2 y)/(d x^2) = (2)/(x^3) sec^2 ((1)/(x)) t g ((1)/(x))

Ufaaa! Acabamos por aqui😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (2)/(x^3) sec^2 ((1)/(x)) t g ((1)/(x))

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