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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 7

Ache (d y)/(d x)

y = e^x s e n e^x

Passo 1

Sabendo que y = e^x s e n e^x

, (d y)/(d x) será:

(d (e^x s e n e^x))/(d x)

Precisamos aplicar a regra do produto: ( f * g )^' = f^' * g + f * g^'

Primeiro separamos a função

f = e^x

g = s e n ( e^x )

Passo 2

Agora encontramos a derivada de cada uma

A primeira é simples

(d)/(d x) ( e^x ) = e^x

Passo 3

Já a segunda função precisamos aplicar a regra da cadeira (d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x)

Separando a função s e n ( e^x ) em duas:

f = s e n (u)

u = e^x

Passo 4

Derivando a primeira

(d)/(d u) (s e n (u)) = cos (u)

Derivando a segunda

(d)/(d x) ( e^x ) = e^x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia do passo 3

= cos (u) e^x

Substituindo u de volta na equação

= cos (e^x) e^x

Passo 6

Agora podemos voltar na aplicação da regra do produto do Passo 1, já que já temos as funções e suas derivadas:

= (d)/(d x) (e^x) s e n (e^x) + (d)/(d x) (s e n (e^x)) e^x

= e^x s e n (e^x) + cos (e^x) e^x e^x

Logo

= e^x s e n ( e^x ) + e^(2 x) c o s ( e^x )

Resposta

(d y)/(d x) = e^x s e n ( e^x ) + e^(2 x) c o s ( e^x )

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