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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 18

Encontre (d y)/(d x) :

y = (l o g ( x ))/(1 + l o g ( x ))

Passo 1

Nesse caso, temos uma função dividindo outra. Para resolução de um problema desse tipo usamos a Regra do Quociente. Para isso, vamos renomear as duas funções chamando-as de f ( x ) e g ( x ) . Aqui, chamaremos:

f (x) = l o g ( x )

g (x) = 1 + l o g ( x )

A Regra do Quociente pode ser dada pela seguinte fórmula:

((f)/(g)) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Já sabemos como calcular a derivada de y em relação a x , mas para facilitar calcularemos cada derivada separadamente. Isso significa que vamos precisar da derivada de f e g , certo?

Passo 2

Antes de solucionar as derivadas de f e g , podemos observar que as duas funções possuem a função logaritmo dentro delas. A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g_a x

(d y)/(d x) = (1)/(x . l o g_e a) = (1)/(x . l n ( a ))

Derivaremos primeiro a função f (x) :

(d [ f (x) ])/(d x) = (d [ l o g ( x ) ])/(d x)

Para facilitar a nomenclatura, chamaremos a derivada de f ' (x) .A derivada será:

f ' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

Agora, nós derivamos a função g (x) , e chamaremos sua derivada de g ' (x) .

Temos que :

g (x) = 1 + l o g ( x )

No caso da nossa derivada, A função g (x) é composta por dois termos, e a derivada de uma função com mais de um termo é a soma das derivadas. Fica assim:

(d [ 1 + l o g ( x ) ])/(d x) = g ' (x) = (d [ 1 ])/(d x) + (d [ l o g ( x ) ])/(d x)

Aplicando os conceitos de derivada, temos:

g^' ( x ) = 0 + (1)/(x . l n ( 10 ))

g^' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

Agora, podemos aplicar os valores calculados na Regra do Quociente.

Passo 3

Como nós calculamos que: f (x) = l o g ( x )

f^' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

E

g (x) = 1 + l o g ( x )

g^' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

Agora, aplicamos na fórmula do quociente:

(d y)/(d x) = ((f)/(g)) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

(d y)/(d x) = ([(1)/(x . l n ( 10 )) (1 + log (x))] - [((1)/(x . ln (10))) . l o g ( x )])/([1 + l o g ( x )]^2)

Foi tranquilo, né?

Resposta

(d y)/(d x) = ([(1)/(x . l n ( 10 )) (1 + log (x))] - [((1)/(x . ln (10))) . l o g ( x )])/([1 + l o g ( x )]^2)

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