Encontre dy / dx :

y = log(x) / (1 + log(x))

Passo 1

Nesse caso, temos uma função dividindo outra. Para resolução de um problema desse tipo usamos a Regra do Quociente. Para isso, vamos renomear as duas funções chamando-as de f ( x ) e g ( x ) . Aqui, chamaremos:

f x = l o g ⁡ ( x )

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

A Regra do Quociente pode ser dada pela seguinte fórmula:

f g = f ' g - g ' f g 2

Já sabemos como calcular a derivada de y em relação a x , mas para facilitar calcularemos cada derivada separadamente. Isso significa que vamos precisar da derivada de f e g , certo?

Passo 2

Antes de solucionar as derivadas de   f e g , podemos observar que as duas funções possuem a função logaritmo dentro delas. A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g a x

d y d x = 1 x . l o g e a = 1 x . l n ⁡ ( a )

Derivaremos primeiro a função f x :

d [ f x ] d x = d [ l o g ⁡ ( x ) ] d x

Para facilitar a nomenclatura, chamaremos a derivada de f ' x .A derivada será:

f ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Agora, nós derivamos a função g x , e chamaremos sua derivada de g ' x .

Temos que :

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

No caso da nossa derivada, A função g x é composta por dois termos, e a derivada de uma função com mais de um termo é a soma das derivadas. Fica assim:

d [ 1 + l o g ⁡ ( x ) ] d x = g ' x = d [ 1 ] d x + d [ l o g ⁡ ( x ) ] d x

Aplicando os conceitos de derivada, temos:

g ' ( x ) = 0 + 1 x . l n ⁡ ( 10 )

g ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Agora, podemos aplicar os valores calculados na Regra do Quociente.

Passo 3

Como nós calculamos que: f x = l o g ⁡ ( x )

f ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

E

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

g ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Agora, aplicamos na fórmula do quociente:

d y d x = f g = f ' g - g ' f g 2

d y d x = 1 x . l n ⁡ ( 10 ) 1 + log ⁡ x - 1 x . ln ⁡ 10 . l o g ⁡ ( x ) 1 + l o g ⁡ ( x ) 2

Foi tranquilo, né?

Resposta

d y d x = 1 x . l n ⁡ ( 10 ) 1 + log ⁡ x - 1 x . ln ⁡ 10 . l o g ⁡ ( x ) 1 + l o g ⁡ ( x ) 2

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