Enunciado

Encontre (d y)/(d x) :

y = ln (c o s ( x ))

Passo 1

Nesse caso, temos uma função dentro da outra e para resolver esse tipo de função devemos usar a Regra da Cadeira.

Podemos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

(f (g (x))^')

y = ln (cos (x))

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = l n ( g (x) )

u = g (x) = c o s ( x )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f (u) = l n ( u )

u = c o s ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

(d y)/(d u) = (1)/(u)

E derivando u em relação a x :

(d u)/(d x) = - s e n ( x )

Agora, é só aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia. Bora lá?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . ( - s e n (x) )

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = (- s e n ( x ))/(c o s ( x ))

Substituindo pela identidade trigonométrica que diz que t g (x) = (s e n ( x ))/(c o s ( x )) :

(d y)/(d x) = - t g ( x )

Resposta

(d y)/(d x) = - t g ( x )

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