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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 19

Ache d y para:

y = x^2 root(3)(2 x + 3)

Passo 1

Questão bem direta, pessoal. Vamos precisar derivar essa função, apenas isso. Lembrando que d y = y ' d x , ok?

Analisando a função y , verificamos que é uma composição de funções polinomiais, então a ideia é usar a regra da cadeia sucessivamente.

Primeiro vamos fazer a seguinte manipulação para jogar o x^2 para dentro da raiz:

y = x^2 root(3)(2 x + 3) = (x^2)^(overset(1)(obrace (3)/(3))) (2 x + 3)^((1)/(3)) = overset((a^b)^c = a^(b c))(obrace (x^6)^((1)/(3))) * (2 x + 3)^((1)/(3)) = (x^6 ( 2 x + 3 ))^((1)/(3))

Daí, temos que:

y = x^2 root(3)(2 x + 3) = (2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3))

Eu fiz toda essa manipulação para não precisar utilizar a regra do produto da derivada.

Passo 2

Agora vamos derivar por fora primeiro (o polinômio) utilizando a fórmula (x^n) ' = n x^(n - 1) .

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

(u^n) ' = (n u^(n - 1)) * u '

No nosso exemplo, y = underset(u)(ubrace ( 2 x^7 + 3 x^6 ))^((1)/(3)) , logo u = 2 x^7 + 3 x^6 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada para n = (1)/(3) , ficando com:

y ' = [(2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3))] ' = (1)/(3) (2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3) - 1) ( 2 x^7 + 3 x^6 ) '

y ' = (1)/(3) ( 2 x^7 + 3 x^6 )^(- (2)/(3)) ( 2 x^7 + 3 x^6 ) '

Aqui vamos usar (2 x^7 + 3 x^6) ' = 7 * 2 x^(7 - 1) + 6 * 3 x^(6 - 1) = 14 x^6 + 18 x^5 .

y ' = (1)/(3) (2 x^7 + 3 x^6)^(- (2)/(3)) ( 14 x^6 + 18 x^5 )

y ' = (14 x^6 + 18 x^5)/(3 (2 x^7 + 3 x^6)^((2)/(3))) = (14 x^6 + 18 x^5)/(3 underset((2 x^7 + 3 x^6)^((2)/(3)))(ubrace (2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3)) * (2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3))))

Já derivamos, mas podemos simplificar mais. Lembre-se do passo 1 que x^2 root(3)(2 x + 3) = (2 x^7 + 3 x^6)^((1)/(3)) . Então:

y ' = (14 x^6 + 18 x^5)/(3 x^2 root(3)(2 x + 3) * x^2 root(3)(2 x + 3)) = (x^4 ( 14 x^2 + 18 x ))/(3 x^4 (2 x + 3)^((2)/(3))) = (14 x^2 + 18 x)/(3 (2 x + 3)^((2)/(3)))

Passo 3

Vamos substituir y ' em d y = y ' d x .

d y = (14 x^2 + 18 x)/(3 (2 x + 3)^((2)/(3))) d x

Prontinho.

Resposta

d y = (14 x^2 + 18 x)/(3 (2 x + 3)^((2)/(3))) d x

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