Nos exercícios de 31 a 34, faça o seguinte: (a) encontre d x e dy em termos de t e d t ; (b) use os resultados da parte (a) para encontrar dy/dx ; (c) expresse y em termos de x , eliminando t , e então calcule dy / dx usando os teoremas de derivação.

x = 2 * t^2 , y = 3t

Item (a)

Passo 1

Nesse item, basta derivar os dois membros da equação normalmente. Vale lembrar que a derivada de x é o próprio d x (analogamente para y ) e que a derivada de um polinômio em t é obtido da seguinte forma:

p t = t n

Então,

p ' t = n t n - 1

Resposta

Assim, naturalmente, temos:

d x = 4 t d t

d y = 3 d t

Item(b)

Passo 1

É importante perceber que, nesse caso, a relação d y d x é obtida, simplesmente, pela divisão das duas equações obtidas no item (a):

d y d x = 4 t d t 3 d t

d y d x = 4 3 t

Resposta

d y d x = 4 3 t

Item (c)

Passo 1

Nesse item, a primeira coisa é expressar y em função de x , tal como o próprio enunciado pede. Para isso, é necessário sumir com o t das equações, o que é feito de maneira muito simples: isola-se o t na segunda equação e o substitui na primeira.

Da segunda equação,

y = 3 t

t = y 3

Substituindo esse resultado na primeira,

x = 2 t 2

x = 2 y 3 2

9 x = 2 y 2

Passo 2

Agora que já temos a equação explícita, basta derivá-la implicitamente e, depois disso, isolar a função d y d x .

Derivada implícita da equação,

9 d x = 4 y d y

Isolando a função d y d x ,

d y d x = 9 4 y

Resposta

d y d x = 9 4 y

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