Se f x = x + 1 ( ln ⁡ k ) / x ,   s e   x ≠ 0 5                                                 ,   s e   x = 0   , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Para fazermos que f seja contínua em x = 0 temos que encontrar k que torne lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x =   lim x → 0 ⁡ 5 uma verdade. Sendo assim vamos resolver lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x primeiro e depois igualar o resultado dos dois limites.

Passo 2

Como lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k x ln ⁡ x + 1

Passo 3

Agora temos lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k ln ⁡ x + 1 x que se trata de uma indeterminação 0 0 e aplicaremos L’Hôpital.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k ln ⁡ x + 1 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k 1 x + 1 1   =     lim x → 0 ⁡ ln ⁡ k 1 x + 1 =   ln ⁡ k  

Passo 4

Tendo encontrado lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x vamos igualar os dois limites e descobrir k

lim x → 0 ⁡ x + 1 ( ln ⁡ k ) / x =   lim x → 0 ⁡ 5

ln ⁡ k =   5

k = e 5

Resposta

k = e 5

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