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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 36

Se f (x) = {[[(x + 1)^(( ln k ) // x) , s e x != 0],[5 , s e x = 0]]) , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Para fazermos que f seja contínua em x = 0 temos que encontrar k que torne underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) = underset(x -> 0)(lim) 5 uma verdade. Sendo assim vamos resolver underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) primeiro e depois igualar o resultado dos dois limites.

Passo 2

Como underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln (x + 1)^(( ln k ) // x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) (ln k)/(x) ln (x + 1))

Passo 3

Agora temos underset(x -> 0)(lim) (ln k ln (x + 1))/(x) que se trata de uma indeterminação (0)/(0) e aplicaremos L’Hôpital.

underset(x -> 0)(lim) (ln k ln (x + 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (ln k (1)/((x + 1)))/(1) = underset(x -> 0)(lim) ln k (1)/((x + 1)) = ln k

Passo 4

Tendo encontrado underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) vamos igualar os dois limites e descobrir k

underset(x -> 0)(lim) (x + 1)^(( ln k ) // x) = underset(x -> 0)(lim) 5

ln k = 5

k = e^5

Resposta

k = e^5

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