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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 34

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

34 ) 2 x 2 + 2 y + 1 = 0

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

2 y = - 2 x 2 - 1

y = - 2 x 2 - 1 2

Passo 2

( b ) Vamos analisar a função para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Para saber se f é injetora tentaremos provar que para f x 1 =   f ( x 2 ) implica em x 1 = x 2 . Agora vamos aplicar esta ideia:

Neste caso note que a função não será injetora pois ela é uma função par! Veja abaixo:

- 2 - x 2 - 1 2 = - 2 x 2 - 1 2

Ou seja,

y - x = y x

Logo y não possui inversa

Passo 3

( c ) Derivando implicitamente em função de x :

2 x 2 + 2 y + 1 = 0

4 x + 2 d y d x = 0

Isolando d y d x teremos:

d y d x = - 2 x

Agora derivando implicitamente em função de y :

2 x 2 + 2 y + 1 = 0

4 x d x d y + 2 = 0

Isolando d x d y teremos:

d x d y = - 1 2 x

Resposta

( a ) y = - 2 x 2 - 1 2

( b ) y não possuem inversa.

( c ) d y d x = - 2 x e d x d y = - 1 2 x

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