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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 13

Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.

a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.

b) Prove que g é estritamente crescente.

c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)

Passo 1

a) Note que a função f está definida para todo x real, logo seu domínio é o intervalo ] - ∞ ,   ∞ [ . Como o domínio de f é a imagem de sua inversa g , provamos que a imagem de g é um intervalo.

Só falta mostrar que o domínio de g também é o intervalo ] - ∞ , ∞ [ , podemos começar tomando os seguintes limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x + e x → ∞ + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x + e x → - ∞ + 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Passo 2

Os limites calculados anteriormente nos mostram que, se y é um real qualquer, então existem reais r e s , com r < s , tais que f r < y < f s .

Agora, usando a continuidade de f e o teorema do valor intermediário, concluímos que existe x com r < x < s , tal que f x = y .

Logo, a imagem de f é o intervalo ] - ∞ ,   ∞ [ .

Como a imagem de f é o domínio de sua inversa g , provamos que o domínio de g é um intervalo.

Passo 3

b) Para provar que a inversa g é estritamente crescente, temos que mostrar que:

y 1 < y 2 ⇒ g y 1 < g y 2

Sendo y 1 = f x 1 e y 2 = f x 2 , temos que provar:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 < x 2

Beleza! Então vamos começar:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 + e x 1 < x 2 + e x 2

⇒ x 2 - x 1 + e x 2 - e x 1 > 0

Supondo, por contradição, que x 1 ≥ x 2 , a inequação acima jamais se verificaria, pois teríamos:

x 2 - x 1 ≤ 0           e           e x 2 - e x 1 ≤ 0

Logo, a única possibilidade será a implicação:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 < x 2

Assim, a inversa g é estritamente crescente.

Passo 4

c) Acabamos de mostrar que o domínio e a imagem de g são intervalos, e que g é uma função estritamente crescente.

Logo, pelo resultado enunciado no Exercício 12, podemos afirmar que a função inversa g é contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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