Seja e seja sua inversa.

a) Prove que o domínio e a imagem de são intervalos.

b) Prove que é estritamente crescente.

c) Prove que é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)

Os limites calculados anteriormente nos mostram que, se é um real qualquer, então existem reais e , com , tais que .

Agora, usando a continuidade de e o teorema do valor intermediário, concluímos que existe com , tal que .

Logo, a imagem de é o intervalo .

Como a imagem de é o domínio de sua inversa , provamos que o domínio de é um intervalo.

b) Para provar que a inversa é estritamente crescente, temos que mostrar que:

Sendo e , temos que provar:

Beleza! Então vamos começar:

Supondo, por contradição, que , a inequação acima jamais se verificaria, pois teríamos:

Logo, a única possibilidade será a implicação:

Assim, a inversa é estritamente crescente.

c) Acabamos de mostrar que o domínio e a imagem de são intervalos, e que é uma função estritamente crescente.

Logo, pelo resultado enunciado no Exercício 12, podemos afirmar que a função inversa é contínua.