Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 31

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: resolva a equação para em termos de e expresse como uma ou mais função de ; para cada função obtida em determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; use a derivação implícita para encontrar e e determine os valores de e para os quais e são recíprocos.

Passo 1

Resolvendo a equação para teremos:

Passo 2

Vamos analisar a função para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Neste caso note que se trata de uma função reciproca, logo, pelo gráfico, podemos determinar que y é bijetora.

Note ainda, pelo gráfico, que a

Passo 3

Derivando implicitamente em função de :

Isolando teremos:

Agora derivando implicitamente em função de :

Isolando teremos:

Passo 4

Por fim vamos analisar os resultados obtidos no passo anterior:

Contudo, sabemos que:

Então teremos :

Assim concluímos que e serão recíprocos desde que e .

Resposta

e para e

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Mostre que f x =x 3 - 3 x 2 + 2 x não é injetora em ( - ∞ ,+ ∞ ) Encontre o maior valor de k , tal que f é injetora no intervalo ( - k ,k ) .

Seja f x =e 4 - x 2 x , x0 (a) Mostre quef é injetora. (b) Seja g ( x )=f - 1 ( x ) e defina F ( x )=f ( g x2) . Encontre F ' 1 2

Seja f ( x )=x 4+x 3+1 , 0≤x≤2 . (a) Mostre que f é injetora. (b) Seja g x =f - 1x e defina F ( x )=f ( 2 g ( x ) ) . Encontre uma equação para a reta tangente a y=F (x) em x=3

Suponha que f e g sejam funções injetoras. Determine qual(is) das funções f x + g x ; f x g x ef g x também deve(m) ser injetora(s).

Suponha que f e g sejam funções crescentes. Determine quais das funções f x + g x ,f x . g xef ( g x ) também deve(m) ser crescente(s).