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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 70

Determine d y // d x por derivação implícita x ^2 y ^2 = 1

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) ( x ^2 y ^2 ) = (d)/(d x) ( 1 )

Passo 2

Para derivar a expressão à esquerda da igualdade é necessário aplicar a regra da multiplicação de derivada. A derivada do lado direito consiste de um termo constante, sendo esse resultado nulo. Assim:

(d)/(d x) ( x ^2 ) * y ^2 + ( x ^2 ) * (d)/(d x) ( y ^2 ) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas, percebemos que o segundo termo a esquerda da igualdade apresenta uma derivada implícita. Para derivar essa expressão aplicamos uma regra da cadeia. Logo :

2 x * y ^2 + ( x ^2 ) * 2 y (d y)/(d x) = 0 ou

y ( 2 x y + 2 x ^2 (d y)/(d x) ) = 0

Passo 4

Simplificando o termo y , e passando o termo 2 x y para o lado direito da igualdade, teremos:

2 x ^2 (d y)/(d x) = - 2 x y

Resposta

Passando o termo 2 x ^2 para o lado direito da igualdade dividindo o resultado será:

(d y)/(d x) = - (y)/(x ^())

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