Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 27

Ache as aproximações T n , M n e S n para n = 6 e 12 . Então calcule os erros correspondentes E T , E M e E S . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema de computação algébrica.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 0 2 x 4 d x

Passo 1

Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , e vamos usar n = 6 , e com f x = x 4 temos que ∆ x :

∆ x = 2 - 0 6 = 1 3

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 6 = 1 2 ∙ 1 3 f 0 + 2 f 1 3 + 2 f 2 3 + 2 f 3 3 + 2 f 4 3 + 2 f 5 3 + f 2 ≈ 6,695473

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 6 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 6 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 6 + f 3 6 + f 5 6 + f 7 6 + f 9 6 + f 11 6 1 3 ≈ 6,252572

Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 6 = f 0 + 4 f 1 3 + 2 f 2 3 + 4 f 3 3 + 2 f 4 3 + 4 f 5 3 + f 2 1 3 ∙ 1 3 ≈ 6,403292

Passo 2

Para achar os erros precisamos do valor real da integral:

∫ 0 2 x 4 d x = 1 5 x 5 0 2 = 32 5 - 0 = 6 , 4

Vamos agora achar os erros de E T , E M e E S :

E T = r e a l - T 6 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - T 6 ≈ 6,4 - 6,695473 ≈ - 0,295473

E M = r e a l - M 6 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - M 6 ≈ 6,4 - 6,252572 ≈ 0,147428

E S = r e a l - S 6 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - S 6 ≈ 6,4 - 6,403292 ≈ - 0,003292

Passo 3

Agora com n = 12 , e com o intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , com f x = x 4 temos que ∆ x :

∆ x = 2 - 0 12 = 1 6

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 12 = 1 2 ∙ 1 6 f 0 + 2 f 1 6 + 2 f 2 6 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1 1 6 + f 2 ≈ 6,474023

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 12 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 12 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 12 + f 3 12 + ∙ ∙ ∙ + f 21 12 + f 23 12 1 6 ≈ 6,363008

Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 12 = f 0 + 4 f 1 6 + 2 f 2 6 + 4 f 3 6 + 2 f 4 6 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 11 6 + f 2 1 3 ∙ 1 6 ≈ 6,40020 6

Passo 4

Vamos agora achar os erros de E T , E M e E S :

E T = r e a l - T 12 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - T 12 ≈ 6,4 - 6,474023 ≈ - 0,074023

E M = r e a l - M 12 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - M 12 ≈ 6,4 - 6,363008 ≈ 0,036992

E S = r e a l - S 12 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - S 12 ≈ 6,4 - 6,400206 ≈ - 0,00020 6

Passo 5

Podemos perceber que E T e E M têm sempre sinais opostos e diminuem por um fator de 4 quando n é dobrado.

A aproximação de Simpson é muito mais precisas que as do Ponto Médio e do Trapézio.

Resposta

T 6 = 6,695473 , M 6 = 6,252572 e S 6 = 6,403292

E T = - 0,295473 , E M = 0,147428 e E S = - 0,003292 para n = 6

T 12 = 6,474023 , M 12 = 6,363008 e S 12 = 6,400206

E T = - 0,074023 , E M = 0,036992 e E S = - 0,000206 para n = 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico a seguir mostra o tráfego de dados em um provedor de serviços na Internet entre meia-noite e as 8 horas da manhã. D denota os dados em processamento, medidos em megabits por segundo. Use a R
Estime a área sob o gráfico na figura usando (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson, cada qual com n = 6 .
Ache as aproximações T n , M n e S n para n = 6 e 12 . Então calcule os erros correspondentes E T , E M e E S . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um s
Esboce o gráfico de uma função contínua no intervalo 0,2 para a qual a Regra do Trapézio, com n = 2 , seja mais apropriada que a Regra do Ponto Médio.