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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 22

Quão grande deve ser n para garantir que a aproximação pela Regra de Simpson de ∫ 0 1 e x 2 d x tenha uma precisão de 0,00001 ?

Passo 1

Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros na Regras de Simpson:

E S ≤ K b - a 5 180 n 4

Onde K ≥ f 4 x e a ≤ x ≤ b , vamos então achar f ' ' x :

f ' x = e x 2 ' = e x 2 2 x

f ' ' x = e x 2 2 x ' ' = e x 2 2 x 2 x + e x 2 2 = e x 2 4 x 2 + e x 2 2 = e x 2 4 x 2 + 2

f ' ' ' x = e x 2 4 x 2 + 2 ' ' ' = e x 2 2 x 4 x 2 + 2 + e x 2 8 x = e x 2 8 x 3 + 12 x

f 4 x = e x 2 8 x 3 + 12 x 4 = e x 2 2 x 8 x 3 + 12 x + e x 2 24 x 2 + 12 = e x 2 16 x 4 + 48 x 2 + 12

Para 1 ≤ x ≤ 2 temos então:

f 4 x = e x 2 16 x 4 + 48 x 2 + 12 ≤ e 1 2 16 . 1 4 + 48 . 1 2 + 12 = 76 e = K

Podemos pegar qualquer valor para K maior de 76 e , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos n = 10 , a = 0 e b = 1 , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:

E S ≤ K b - a 5 180 n 4 ≤ 0,00001 ↔ 76 e 1 - 0 5 180 n 4 ≤ 1 10 5 ↔ 180 n 4 ≥ 76 e 10 5 ↔ n 4 ≥ 76 e 10 5 180 ↔ n ≥ 18,4

Temos que ter n = 20 , pois aqui n deve ser par.

Resposta

n = 20

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A figura a seguir mostra um gráfico da curva velocidade v versus tempo t para um teste do automóvel B M W335 i . Dê uma estimativa das velocidades em t = 0 ,5 ,10 ,15 ,20 ,25e30s a partir do gráfico,
Seja f x = 1 + x 3 . a Use um C A S para aproximar o valor máximo de f ' ' x em 0 ,1 . b Qual é o tamanho de n na aproximação trapezoidal de ∫ 0 1 f x d x para garantir que o erro absoluto seja menor
Seja f x = cos ⁡ x 2 . a Use um C A S para aproximar o valor máximo de f ' ' x em 0 ,1 . b Qual é o tamanho de n na aproximação do ponto médio de ∫ 0 1 f x d x para garantir que o erro absoluto seja m
Discuta duas circunstâncias diferentes nas quais é necessária a integração numérica.
Uma aproximação mais precisa com os métodos de integração numérica desta seção foi obtida aumentando o número de subdivisões do intervalo. Outra estratégia é usar o mesmonúmero de subintervalos, mas s