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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 90

90) Ache a área da região limitada pelas curvas y = s e n   2 x   e y = s e n   x de x = 0 até x = π 3 .

Passo 1

Para essa questão faremos a integração em y.

Os pontos de interseção entre as curvas nos fornecem os limites de integração:

s e n ( 2 x ) = s e n x

Mas s e n 2 x = 2 . s e n x . c o s x

Então:

2 . s e n x . c o s x = s e n x

Colocando s e n x   em evidência:

s e n x .   2 c o s x - 1 = 0

Portanto, resolvendo a equação trigonométrica ( 0 ≤ x < 2 π ) :

c o s x = 1 2 → x = π 3

s e n x = 0 → x = 0

Veja o esboço das curvas para uma melhor compreensão:

Portanto, a função que irá nos fornecer a área será: f y = s e n ( 2 x ) - s e n x .

Á r e a = ∫ 0 π 3 s e n   ( 2 x ) - s e n x   d y

Integrando e substituindo os limites:

Á r e a = 1 2 - c o s 2 x π / 3 0 - - c o s x π / 3 0 1 0 = 3 4 - 1 2 = 1 4 u . a .

Resposta

Á r e a = 1 4   u . a .

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). h ) rho^2 = (1)/(1 + sin^2 theta)
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). a )ρ = 2 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares d )ρ 2 = cos ⁡ θeρ 2 = sin ⁡ θ( ρ ≥ 0 )
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). c ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). b ) ρ 2 = cos ⁡ θ ( ρ ≥ 0 )