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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3d

Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares).

c )     ρ = cos ⁡ 3 θ

Passo 1

A fórmula para se calcular a área da região delimitada pela cruva é:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ

Assim, substituímos os valores que temos, sendo os limites de integração o suficiente para formar a figura.

Ela será essa área:

Vemos 3 pétalas com áreas iguais o intervalo para criar uma pétala são os valores que se jogarmos na equação teremos 0, ou seja, os dois primeiros zeros da nossa tabela.

Se fosse uma equação ρ = cos ⁡ θ o intervalo seria: - π 2 , π 2 , mas como temos a equação:

  ρ = cos ⁡ 3 θ , vamos pegar ânguos com módulo 3 vezes menor, ou seja - π 6 , π 6 .

Ok! Agora temos uma pétala, como são 3 multiplicamos a equação por 3:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 3 θ d θ = 3 2 ∫ - π 6 π 6 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Passo 2

Á r e a = 3 2 ∫ - π 6 π 6 cos 2 ⁡ 3 θ d θ =

Temos que usar aqui a relação: cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ , porém nosso θ =   3 θ → cos 2 ⁡ 3 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 6 θ

3 2 ∫ - π 6 π 6 1 2 1 + cos ⁡ 6 θ d θ = 3 4 ∫ - π 6 π 6 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

Fazemos a substituição: u = 6 θ → d u = 6 d θ

3 24 ∫ - π π 1 + cos ⁡ u d u = 1 8 ∫ - π π 1 + cos ⁡ u d u

θ 8 + ( sin ⁡ u ) 8 π - π = π 8 + ( sin ⁡ π ) 8 - - π 8 + ( sin ⁡ ( - π ) ) 8 = π 8 - - π 8 = 2 π 8 = π 4

Resposta

Á r e a = π 4

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