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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3b

Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares).

b )     ρ 2 = cos ⁡ θ ( ρ ≥ 0 )

Passo 1

A fórmula para se calcular a área da região delimitada pela cruva é:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ

Assim, substituímos os valores que temos, sendo os limites de integração o suficiente para formar a figura.

Ela será essa área:

Se analisarmos a equação, veremos que ela está definida para ρ ≥ 0 o que implica que só podemos usar θ   tal que cos ⁡ θ ≥ 0 , o intervalo em que isso ocorre de 0 a 2 π são os intervalos de 0 ,   π 2   e   3 π 2 ,   2 π .

Como é simétrico em relação ao semieixo Ox, vamos usar apenas o intervalo 0 , π 2 e multiplicamos por 2, vai ficar:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 2 d θ + ∫ 3 π 2 2 π cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Á r e a = ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ π 2 0 = 1

Resposta

Á r e a = 1

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