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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 99

Ache a área da região limitada pelo laço da curva x 2 = y 4   ( 1 - y 2 ) .

Passo 1

A questão pede para acharmos a área de um laço da curva x 2 = y 4 ( 1 - y 2 ) . Ao plotarmos essa curva, obtemos

Como queremos a área de apenas um laço, estamos interessados na região com y ≥ 0 (acima do eixo x ).

Se tentarmos isolar y como função de x , não vamos conseguir, mas é possível isolar x como função de y . Assim, esse é um problema que só pode ser resolvido se integrarmos na variável y .

Isolando x como função de y , temos que

x = ± y 2   1 - y 2

A área de um laço será o dobro da área da região no primeiro quadrante ( x ≥ 0 ), de modo que podemos escrever:

A = 2 ∫ 0 1 y 2 1 - y 2   d y

Passo 2

Para efetuarmos essa integral, vamos precisar da substituição trigonométrica y = s e n   t . Assim,

1 - y 2 = 1 - s e n 2 t = cos 2 ⁡ t = cos ⁡ t

Além disso, d y = cos ⁡ t   d t e, quando y = 0 ⇒ t = 0 e para y = 1 ⇒ t = π / 2 :

A = 2 ∫ 0 π / 2 s e n 2 t cos ⁡ t ⋅ cos ⁡ t   d t

Usando a fórmula do arco duplo:

s e n   2 t = 2   s e n   t cos ⁡ t ⇒ s e n 2 2 t = 4   s e n 2 t cos 2 ⁡ t ⇒ s e n 2 t cos 2 ⁡ t = s e n 2 2 t 4

Assim,

A = 2 4 ∫ 0 π / 2 s e n 2 2 t   d t

Passo 3

Agora, fazendo u = 2 t , temos que d u = 2   d t :

A = 1 2 ∫ 0 π s e n 2 u d u 2 = 1 4 ∫ 0 π s e n 2 u   d u

Note que os limites de integração também devem ser alterados!

Para integrar s e n 2 u , lembre-se que

s e n 2 u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

Portanto,

A = 1 8 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 u   d u = 1 8 u - 1 2 s e n   2 u 0 π

Como s e n   0 = s e n   2 π = 0 , temos que

A = 1 8 ⋅ π = π 8

Resposta

π 8

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