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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 109

Um lago pode ter no máximo 10000 peixes, de forma que a taxa de crescimento dos peixes é conjuntamente proporcional ao número de peixes presentes e à diferença entre 10000 e o número presente. O lago contém inicialmente 400 peixes e 6 semanas depois havia 3000 peixes.

(a) Quantos peixes existirão no lago após 8 semanas?

(b) Quando é máxima a taxa de crescimento? Isto é, após quantas semanas o lago irá conter 5000 peixes?

Passo 1

Essa é uma clássica questão de modelagem de problemas de crescimento por equações diferenciais! Precisamos obter uma função que descreva o número de peixes em função do tempo (em semanas). Vamos chamar de P ( t ) a quantidade de peixes no lago em função do tempo.

O enunciado diz que a taxa de crescimento é conjuntamente proporcional ao número de peixes ( P ) e à diferença entre 10000 e o número de peixes ( 10000 - P ). Como a taxa de crescimento é a derivada temporal de P , temos que

d P d t = k P 10000 - P ,

onde k é uma constante de proporcionalidade que será achada mais tarde. Essa é a equação diferencial que temos que resolver: note que ela é separável:

d P P   ( 10000 - P ) = k   d t

Passo 2

Integrando em ambos os lados, temos que

∫ d P P   10000 - P = ∫ k   d t = k t + C

Note que a integral em P é feita usando frações parciais:

1 P   10000 - P = A P + B 10000 - P = 10000 A - A P + B P P   ( 10000 - P )

Assim, 10000 A = 1 e - A + B = 0 . Portanto,

A = B = 1 10000

Desta forma,

∫ d P P   10000 - P = 1 10000 ∫ 1 P + 1 10000 - P   d P = 1 10000 ∫ 1 P - 1 P - 10000   d P

Logo,

∫ d P P   10000 - P = 1 10000 ln ⁡ P P - 10000

Assim, temos que

1 10000 ln ⁡ P P - 10000 = k t + C

Portanto, passando o fator 10000 multiplicando

ln ⁡ P P - 10000 = 10000 k t + C '

Note que C ' = 10000 C .

Aplicando a exponencial dos dois lados:

P P - 10000 = e 10000 k t + C ' = e C ' ⋅ e 10000 k t

Chamando A = ± e C ' , temos que

P P - 10000 = A e 10000 k t

Passo 3

Agora precisamos obter as constantes A e k usando que para t = 0 , temos que P = 400 , enquanto para t = 6 , P = 3000 . Usando a primeira informação:

400 400 - 10000 = A e 0 = A ⇒ A = - 400 9600 = - 4 96 = - 1 24

Agora, usando a segunda informação, temos que

3000 3000 - 10000 = - 1 24 e 60000 k

Portanto,

- 3000 7000 = - 3 7 = - 1 24 e 60000 k ⇒ e 60000 k = 72 7

Aplicando l n dos dois lados:

60000 k = ln ⁡ 72 7 ⇒ 10000 k = 1 6 ln ⁡ 72 7

Portanto,

A e 10000 k t = A e 1 6 ln ⁡ 72 7   t = A e ln ⁡ 72 7 t / 6 = A 72 7 t / 6

Nesta última passagem usei que e a b = e a b . Portanto, a equação que dá a população de peixes no lago em função do tempo é

P P - 10000 = - 1 24 72 7 t / 6

Passo 4

No item (a) queremos P quando t = 8 :

P P - 10000 = - 1 24 72 7 8 / 6

Por simplicidade, vamos escrever

P P - 10000 = h

Assim,

P = h P - 10000 h

Logo,

1 - h P = - 10000 h ⇒ P = - 10000 h 1 - h

Calculando h :

h = - 1 24 72 7 4 3 ≈ - 0,932

Assim,

P ≈ 4824

Desta forma, após 8 semanas existiam aproximadamente 4824 peixes no lago.

Passo 5

No item (b) queremos saber em que semana ocorre a taxa de crescimento máxima. A taxa de crescimento é dada por

k P ( 10000 - P )

Ela será máxima para P = 5000 pois

P 10000 - P = - P 2 + 10000 P

é uma função do segundo grau cujo máximo ocorre em P = 5000 já que

- P 2 + 10000 P ' = - 2 P + 10000 = 0 ⇒ P = 5000

Assim, queremos saber o valor de t tal que P = 5000 . Como

P P - 10000 = - 1 24 72 7 t 6

Substituindo P = 5000 , temos que

5000 5000 - 10000 = - 1 = - 1 24 72 7 t 6

Assim,

72 7 t / 6 = 24

Tomando l n dos dois lados:

ln ⁡ 72 7 t / 6 = ln ⁡ 24 ⇒ t 6 ln ⁡ 72 7 = ln ⁡ 24

Logo,

t = 6 ln ⁡ 24 ln ⁡ 72 7

Fazendo a conta com uma calculadora, obtemos que

t ≈ 8,2

Assim, em um cerca de 8 semanas e um pouco mais de um dia a taxa de crescimento será máxima.

Resposta

( a )   4824 peixes.

(b) 8,2 semanas.

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Determine a linearização deg (x) = 2 - int_2^(x + 1) (9)/(1 + t) d t Em x = 1 .
Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um
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