Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 109
Um lago pode ter no máximo peixes, de forma que a taxa de crescimento dos peixes é conjuntamente proporcional ao número de peixes presentes e à diferença entre e o número presente. O lago contém inicialmente peixes e semanas depois havia peixes.
(a) Quantos peixes existirão no lago após semanas?
(b) Quando é máxima a taxa de crescimento? Isto é, após quantas semanas o lago irá conter peixes?
Passo 1
Essa é uma clássica questão de modelagem de problemas de crescimento por equações diferenciais! Precisamos obter uma função que descreva o número de peixes em função do tempo (em semanas). Vamos chamar de a quantidade de peixes no lago em função do tempo.
O enunciado diz que a taxa de crescimento é conjuntamente proporcional ao número de peixes () e à diferença entre e o número de peixes (). Como a taxa de crescimento é a derivada temporal de , temos que
onde é uma constante de proporcionalidade que será achada mais tarde. Essa é a equação diferencial que temos que resolver: note que ela é separável:
Passo 2
Integrando em ambos os lados, temos que
Note que a integral em é feita usando frações parciais:
Assim, e . Portanto,
Desta forma,
Logo,
Assim, temos que
Portanto, passando o fator multiplicando
Note que .
Aplicando a exponencial dos dois lados:
Chamando temos que
Passo 3
Agora precisamos obter as constantes e usando que para , temos que , enquanto para , . Usando a primeira informação:
Agora, usando a segunda informação, temos que
Portanto,
Aplicando dos dois lados:
Portanto,
Nesta última passagem usei que . Portanto, a equação que dá a população de peixes no lago em função do tempo é
Passo 4
No item (a) queremos quando :
Por simplicidade, vamos escrever
Assim,
Logo,
Calculando :
Assim,
Desta forma, após semanas existiam aproximadamente peixes no lago.
Passo 5
No item (b) queremos saber em que semana ocorre a taxa de crescimento máxima. A taxa de crescimento é dada por
Ela será máxima para pois
é uma função do segundo grau cujo máximo ocorre em já que
Assim, queremos saber o valor de tal que . Como
Substituindo , temos que
Assim,
Tomando dos dois lados:
Logo,
Fazendo a conta com uma calculadora, obtemos que
Assim, em um cerca de semanas e um pouco mais de um dia a taxa de crescimento será máxima.
Resposta
peixes.
(b) semanas.