- Se , ache a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
- Encontre a área da superfície se a rotação for em torno do eixo
Passo 1
- Podemos ver que se , então a curva só tem pontos para .
Vamos isolar na equação da curva, isso será útil la na frente
Vamos fazer um esboço da curva pra gente conseguir ver melhor o que que está acontecendo
A curva é simétrica em relação ao eixo (já que a equação é inalterada quando y é substituído por ). quando ou , então o loop da curva estende de a .
Vamos calcular a derivada da função
Elevando ambos os lados ao quadrado, ficamos com
Lembra que isolamos no inicio?! Agora vamos substituir
Agora, vamos adicionar 1 unidade em ambos os lados da equação, daí ficamos com
Passo 2
- Precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma
- Precisamos girar o loop completo em torno do eixo , de modo que obtemos o dobro da área obtida girando a metade superior do loop
Então, substituindo o que já calculamos, ficamos com
Note que giramos a metade superior do loop em torno do eixo . Isso gera a superfície total.