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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 25

Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide.

25 .           y = 4 - x 2 ,             y = 0

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui, pessoal, é tentar indentificar que região é essa, no nosso caso, temos uma parábola com concavidade para baixo e com raízes x = ± 2 . Segue a imagem:

Figura 1 - O ponto C é visualmente o centroide.

Agora vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pela curva y = f ( x ) , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f x ≥   0     ∀ x ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x               e                   M y = ∫ a b x f ( x ) d x  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x e A . Perceba que a abscissa do centroide será 0 devido ao eixo y ser o eixo de simetria da região.

Passo 2

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ 0,2 ] . Sendo assim, basta multiplicar por 2 e obter a área total da região (podemos usar a simetria ao nosso favor).

A = 2 ∫ 0 2 4 - x 2 d x = 2 4 x - x 3 3 0 2 = 2 8 - 8 3 - 2 0 - 0 3 = 16 - 16 3 = 32 3   u . a

A = 32 3   u . a

Lembre-se que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

Passo 3

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x = 1 2 ∫ - 2 2 4 - x 2 2 ⏞ Função par d x = 2 2 ∫ 0 2 4 - x 2 2 d x = ∫ 0 2 ( 16 - 8 x 2 + x 4 ) d x

= 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 0 2 = 32 - 64 3 + 32 5 - 16 ⋅ 0 - 0 3 + 0 5 = 32 - 64 3 + 32 5

M x = 480 - 320 + 96 15 = 256 15

Passo 4

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = 0 , M x A = 0 , 256 15 32 3 = 0 , 256 15 ⋅ 3 32 = 0 , 8 5

Prontinho, achamos o centróide.

Resposta

C = 0 , 8 5

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