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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 19

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 4 x 3 - x 4 = x 3 ( 4 - x )

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 12 x 2 - 4 x 3 = 4 x 2 ( 3 - x )

y ' ' = 24 x - 12 x 2 = 12 x ( 2 - x )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 4 x 2 3 - x = 0  

4 x 2 = 0 → x = 0

3 - x = 0 → x = 3

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = 0 , e y ' ' 3 =   - 36 < 0   .

Então, temos um ponto máximo em 3 ,   y 3 = ( 3 ,   27 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   4 x 2 ( 3 - x )

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = 3 . Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   0 ) e ( 0 ,   3 ) e decrescente em ( 3 , ∞ )   .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 12 x ( 2 - x ) , então: ( - ∞ ,   0 ) e ( 2 , ∞ ) e para cima em ( 0,2 )

Passo 4

Podemos encontrar facilmente ainda o ponto onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

    • y 0 =   4 ( 0 ) 3 - 0 4 = 0

    Ponto ( 0 , 0 ) .

  • Corta o eixo x em: x 3 4 - x = 0 → x = 0   ; 4 - x = 0 → x = 4

Pontos: 0,0 ,   ( 4,0 )

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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