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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 18

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = - x 4 + 6 x 2 - 4 = x 2 ( 6 - x 2 )

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = - 4 x 3 + 12 x = - 4 x ( x 2 - 3 )

y ' ' = - 12 x 2 + 12 = - 12 ( x 2 - 1 )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - 4 x x 2 - 3 = 0

- 4 x = 0 → x = 0

x 2 - 3 = 0 → x 2 = 3 → x = ± 3

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = 12 > 0 , e y ' ' - 3 =   - 24 < 0   e y ' ' 3 = - 24 < 0 .  

Então, temos um ponto mínimo em 0 ,   y 0 = ( 0 , - 4 ) ,um ponto máximo em - 3 ,   y - 3 = ( - 3 ,   5 ) e outro mínimo em 3 ,   y 3 = ( 3 ,   5 )

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   - 4 x ( x 2 - 3 )

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = ± 3 . Vamos fazer uma análise de sinal então...

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   - 3 ) e ( 0 ,   3 ) e decrescente em ( - 3 , o )   e   ( 3 ,   ∞ ) . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - 12 ( x 2 - 1 ) , então:

y ' ' > 0 → x 2 - 1 < 0 → x > - 1   e   x < 1

Então a concavidade é para cima quando x ∈ ( - 1,1 ) e para baixo quando x   está no intervalo de - ∞ , - 1   e   1 , ∞ .

Pontos de inflexão: (-1, 1) e (1,1).

Passo 4

Podemos encontrar facilmente ainda o ponto onde a função corta o eixo y:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y 0 =   - 0 4 + 6 0 2 - 4 =   - 4

Ponto ( 0 , - 4 ) .

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f for uma função definida por f x = 2 x - 4 - 6 , então f - 1 = 0 e f 5 = 0 . Mas f ' não se anula nunca. Mostre por que o teorema de Rolle não é válido.
Se f for uma função polinomial e f ( a ) , f ( b ) , f ' ( a ) e f ' ( b ) forem nulos, prove que existem pelo menos dois números no intervalo aberto ( a ,b ) que sejam raízes da equação f ' ' x = 0 .
Verifique se as três condições da hipótese do teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema de Roll
Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflex
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